Интересные задачи участников форума MHP • Re: Пара задач на равномерную сходимость
Справедливо следующее утверждение:

Пусть последовательность функций [math]f_n(x)[/math] сходится равномерно на [math]X[/math] к функции [math]f(x)[/math], причем в некоторой предельной точке [math]a[/math] множества [math]X[/math] функции [math]f_n(x)[/math] имеют конечные пределы [math]c_n[/math]. Тогда и функция [math]f(x)[/math] имеет в точке [math]a[/math] конечный предел [math]c[/math], причем [math]c=\lim_{n\to\infty}c_n[/math].

Его можно рассматривать как обобщение стандартной теоремы о непрерывности равномерного предела непрерывных функций. Доказательство этого утверждения есть в Фихтенгольце, п. 433, 436.

Применяя это утверждение к условиям нашей задачи, получаем, что если последовательность непрерывных на [math]\bar X[/math] функций [math]f_n(x)[/math] сходится поточечно на [math]\bar X[/math], причем на [math]X[/math] она сходится равномерно к [math]f(x)[/math], то [math]f(x)[/math] непрерывна на [math]X[/math] и допускает непрерывное продолжение на [math]\bar X[/math], и это продолжение будет поточечным пределом [math]f_n(x)[/math] на всем [math]\bar X[/math].

Отсюда легко получить, что [math]f_n(x)[/math] будет равномерно сходиться к [math]f(x)[/math]. Действительно, по определению равномерной сходимости [math]f_n(x)[/math] на [math]X[/math] к [math]f(x)[/math], имеем:

[math]\forall\varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\colon\ \forall n\geqslant N\ \forall x\in X\ |f_n(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}2[/math]

Тогда для любой [math]a\in\bar X[/math] переходя к пределу в последнем неравенстве при [math]x\to a[/math] и пользуясь непрерывностью функций [math]f_n(x)[/math] и [math]f(x)[/math] на [math]\bar X[/math], получаем

[math]|f_n(a)-f(a)|\leqslant\frac{\varepsilon}2<\varepsilon[/math]

то есть неравенство справедливо для всех [math]x\in\bar X[/math], откуда и получаем равномерную сходимость на [math]\bar X[/math].

Read Full Article